--- 卷一・總綱 --- 定義 1. 微分：研究函數瞬時變化率之數學工具，記為 f'(x) 或 df/dx。 2. 積分：研究函數累積效應之數學工具，記為 ∫ f(x) dx。 3. 導數：函數在某一點之瞬時變化率，定義為 f'(x) = lim_{h→0} [f(x+h)-f(x)]/h，其中 h 為任意趨近零之實數。七進制實數與十進制實數一一對應，極限概念等價，讀者可參考《七進制數基》卷二。 4. 黎曼積分：函數在區間上之累積和，定義為 ∫a^b f(x) dx = lim{‖Δ‖→0} Σ f(ξ_k) Δx_k，其中分割任意，取點任意。 5. 微積分基本定理：若 F'(x) = f(x) 且 f 在 [a, b] 上連續，則 ∫_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)。若不連續，需分段處理。 公設 1. 所有運算以七進制為基底，數值表示遵從《七進制數基》。 2. 導數與積分之定義形式與十進制相同，僅數值以七進制表示。 3. 函數可能因幻巴亂入或自身性質（如 L(t) 之階梯跳變）而不連續，需分段處理，結果加註「？」。 4. 本微積分專為《生命憲章》《七樞命理》《聖譜卷》提供變化計算工具，不追求數學完備性，只求夠用。 --- 卷二・導數 --- 命題一 導數標準定義如下： 證： f'(x) = lim_{h→0} [f(x+h) - f(x)] / h 其中 h 可為任意趨近零之實數，不限於 7⁻ⁿ。左導數考慮 h→0⁻，右導數考慮 h→0⁺，導數存在若且唯若左右導數相等。 例：f(x) = x²，則 f'(x) = 2x，與十進制一致。立。 --- 命題二 導數之物理意義為瞬時變化率： 證： · 精神力消耗速率：dE/dt，單位為 息/息（無量綱） · Ψ值變化率：dΨ/dt，單位為 1/息 · 演化速度：v = dP/dt，P 為三軸座標向量，單位 1/息 立。 --- 卷三・積分 --- 命題三 黎曼積分標準定義如下： 證： 將區間 [a, b] 任意分割為 n 個子區間，分點 a = x₀ < x₁ < … < x_n = b。令 Δx_k = x_k - x_{k-1}，任取 ξ_k ∈ [x_{k-1}, x_k]。若當 max Δx_k → 0 時，黎曼和 Σ f(ξ_k) Δx_k 收斂於同一值 I，則稱 ∫_a^b f(x) dx = I。 分割不必均勻，Δx_k 不限於 7⁻ⁿ。立。 --- 命題四 積分之物理意義為累積效應： 證： · 轉化熵累積：H(t) = ∫₀ᵗ h(τ) dτ，h(τ) 為熵增速率，熵為無量綱單位 · 精神力總消耗：E_total = ∫ v·F dt，v 為速度，F 為作用力 · 流年積分均值：A_year = (1/T) ∫ Ψ(t) dt，T=1年 立。 --- 卷四・微積分基本定理 --- 命題五 微積分基本定理成立條件如下： 證： 若 F'(x) = f(x) 且 f 在 [a, b] 上連續，則 ∫_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)。 若 f 因幻巴亂入或自身性質（如 L(t) 階梯跳變）不連續，則需分段處理：在每個連續子區間上應用定理，再將結果相加。跳變點處視為區間端點，不影響積分值。立。 --- 卷五・與《生命憲章》對接 --- 命題六 精神力消耗模型（差分形式）： 證： L(t) 為存在階位，每7年跳變一次，為階梯函數，不可導。故精神力消耗以差分計算： ΔE = -α·L(t) Δt 其中 Δt 為時間步長，遠小於7年時可視為瞬時消耗近似；長期總消耗則分段求和： E_total = Σ (-α·L_k)·Δt_k α 為消耗係數，單位 1/息，需由祭司公會實測標定（線性回歸），初步假設 α = 1 息⁻¹ 為教學示例。立。 --- 命題七 轉化熵累積模型： 證： dH/dt = β·|Q(t)|，其中 Q(t) 為轉化強度，單位元力/息（元力定義見《生命憲章》卷二，1元力可轉化為1息精神力，惟效率受諧振譜影響）。β 為熵增係數，單位 熵/元力，熵為無量綱單位。β 需實測標定，初步假設 β = 0.1 熵/元力。 總熵值 H(t) = ∫₀ᵗ β·|Q(τ)| dτ，超過閾值 H_max 時觸發屬性偏移。立。 --- 卷六・與《七樞命理》對接 --- 命題八 Ψ值變化率模型： 證： dΨ/dt = γ·(ψ_env(t) - Ψ(t))，其中 ψ_env(t) 為環境Ψ流，γ 為響應係數，單位 1/息，需實測標定，初步假設 γ = 0.5 息⁻¹。 若 ψ_env 為常數，則解析解為 Ψ(t) = ψ_env + (Ψ₀ - ψ_env) e^{-γt}，可用於短期預測；若 ψ_env 隨時間變化，需數值求解。立。 --- 命題九 流年積分均值： 證： 流年傾向 A_year = (1/T) ∫_年 Ψ(t) dt，T=1年。Ψ(t) 可能不連續，需分段積分後相加。遇幻巴亂入時，缺失區間跳過，結果加註「？」。立。 --- 卷七・與《聖譜卷》對接 --- 命題十 演化速度與精神力代價： 證： 設位置向量 P(t) = (L(t), S(t)/7, β·|w̄(C(t))|)，則速度 v(t) = dP/dt，單位 1/息。 精神力消耗率與速度平方成正比：dE/dt = η·|v|²，其中 η 為阻力係數，單位 精神力·息，需實測標定，初步假設 η = 0.1 精神力·息。 精神力總消耗：E = ∫ η·|v|² dt。 例：設 P(t) = (L(t), S(t)/7, 0.8)，L(t)=5+0.1t，S(t)=3+sin(2πt/7)，t 以年計，求 t=0 至 7 年精神力總消耗。 v = (0.1, (2π/7)cos(2πt/7)/7, 0) = (0.1, (2π/49)cos, 0) |v|² = 0.1² + (4π²/2401)cos²(2πt/7) E = ∫₀⁷ 0.1·|v|² dt = 0.1×0.01×7 + 0.1×(4π²/2401)×(7/2) = 0.007 + (0.1×4π²×7)/(2×2401) = 0.007 + (2.8π²)/4802 ≈ 0.007 + (2.8×9.8696)/4802 ≈ 0.007 + 27.635/4802 ≈ 0.007 + 0.00576 = 0.01276 精神力單位 （π 在七進制下約為 3.0503₇，本例為便於計算暫用十進制，結果可依《七進制數基》轉換）立。 --- 卷八・七進制數值示例 --- 命題十一 例：計算某團子精神力總消耗，設 L(t)=5 恆定，持續 7 息，α=1。 證： ΔE = -1×5×7 = -35 息，35₁₀ = 50₇ 息。立。 --- 命題十二 例：計算轉化熵累積，設 Q(t)=3 元力/息 恆定，持續 49 息，β=0.1。 證： dH/dt = 0.1×3 = 0.3 熵/息，H = ∫₀⁴⁹ 0.3 dt = 14.7 熵。 14.7₁₀ 轉七進制至 7⁻⁶：14.7×7⁶ = 14.7×117649 ≈ 1,729,440.3，除以7⁶得整數部分，迭代得 20.463514₇。此值與 14.7 誤差小於 7⁻⁶ ≈ 0.0004，符合精度要求。立。 --- 卷九・幻巴附註 --- 幻巴亂入時，函數可能不連續。亂入起止時間由感知族記錄，以「亂入開始」與「亂入結束」標記。亂入期間函數值視為缺失，積分時跳過該區間，前後分段各自積分。若亂入持續時間小於 1 息，仍視為獨立區間處理。最終結果加註「？」，並附註「幻巴亂入期間數據缺失」。亂入期間任何計算無效，不應作為後續依據。 --- 終卷 --- 末命題 微積分者，變化與累積之工具也。導數求瞬時，積分求總和，基本定理通二者。與《生命憲章》《七樞命理》《聖譜卷》深度對接，為格爾諾宇宙動態分析之基石。遇不連續則分段，遇幻巴則留「？」，不強求完備，只求夠用。