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卷一・總綱


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定義


1. 幾何代數：研究空間結構與變換之數學工具，以幾何積 ab = a·b + a∧b 統一內積與外積。

2. 向量：三維空間中帶方向與大小之量，記為 a, b, c。分量以七進制實數表示，遵從《七進制數基》之定義。

3. 內積 a·b：向量投影之量度，結果為純量。a·b = |a||b|cosθ，用於計算距離與角度。

4. 外積 a∧b：向量張成之有向面積，結果為二重向量。a∧b = -b∧a，用於表示空間定向。

5. 幾何積 ab：內積與外積之和，ab = a·b + a∧b，為幾何代數之核心運算。


公設


1. 所有運算以七進制為基底，數值表示遵從《七進制數基》。

2. 向量加法與數乘滿足線性空間八條公理。

3. 幻巴亂入時，所有幾何代數運算結果加註「？」，待亂入結束後重算。亂入期間之計算無效，不應作為後續依據。

4. 本幾何代數專為三維空間設計，九族權重向量僅取其模長參與計算，因《諧振聖譜》中文明權重僅影響「強度」而非「方向」，取模長足以表徵。若需區分分佈差異，可引入更高階幾何代數，惟當前原典無此需求。


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卷二・向量與三軸座標


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命題一


《諧振聖譜》三軸座標可表示為向量：


證：

設向量 v = (L, S/7, β·|w̄(C)|)，其中：

· L ∈ {1,…,7} 為存在階位，對應七進制 1₇ 至 10₇

· S ∈ [-7, 7] 為元質光譜值，以七進制實數表示

· |w̄(C)| 為九族歸一化權重向量之模長

· β 為軸向調節參數，預設值 0.5，建議範圍 0.3-0.7


β之精確值需由祭司公會標定。標定方法：選取《聖譜卷》中若干已知演化軌跡，調整β使計算距離與實際觀測距離誤差最小化，建議用最小二乘法擬合。


三軸交匯得唯一座標，此即向量 v 在三維空間中之位置。立。


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命題二


九族歸一化權重向量定義如下：


證：

《文明參數手冊》載九族權重 w(C) = (w₁, …, w₇)，總和為 100。歸一化得 w̄(C) = (w₁/100, …, w₇/100)，總和為 1。其模長 |w̄(C)| = √( Σ (w̄_i)² )，即《文明參數手冊》中團子族與九族之距離 d(Φ, C)。立。


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卷三・內積與距離


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命題三


兩點間距離為向量差之模長：


證：

設 v₁ = (L₁, S₁/7, β·|w̄(C₁)|)，v₂ = (L₂, S₂/7, β·|w̄(C₂)|)，則

d(P₁, P₂) = |v₁ - v₂| = √[ (ΔL)² + (ΔS/7)² + (β·Δ|w̄|)² ]


此與《聖譜卷》三軸距離公式完全一致。立。


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命題四


九族間原始距離需查表，然歸一化後之模長距離可由本幾何代數計算：


證：

d(C₁, C₂) = |w̄(C₁) - w̄(C₂)| 為七維向量之差，本幾何代數不直接處理七維運算，故原始距離需查《文明參數手冊》速查表。然歸一化模長 |w̄(C)| 參與三軸計算，已足敷《諧振聖譜》定位之需。立。


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卷四・與《文明參數手冊》對接


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命題五


示例：計算理序族與血誓族之三軸距離。


證：

· 理序族座標：L=5（完態），S=3（偏秩序），C=1（理序族）

· 血誓族座標：L=4（內蘊），S=-2（偏混沌），C=2（血誓族）

· 查《文明參數手冊》得 d(C₁, C₂) = 1.21₁₀（十進制記錄，使用時以十進制計算，結果轉七進制）

· 取 β=0.5，計算：

ΔL = 1

ΔS/7 = 5/7 ≈ 0.510204₁₀

β·Δ|w̄| = 0.5 × 1.21 = 0.605₁₀

Δv = √[1² + 0.510204² + 0.605²] = √[1 + 0.260308 + 0.366025] = √1.626333 ≈ 1.2753₁₀


1.2753₁₀ 轉七進制，整數部分 1，小數部分 0.2753：

0.2753 ×7 = 1.9271 → 1

0.9271 ×7 = 6.4897 → 6

0.4897 ×7 = 3.4279 → 3

0.4279 ×7 = 2.9953 → 2

得 1.1632…₇


本例精度 7⁻⁴（約 1/2401），結果約為 1.1632₇。立。


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卷五・與《諧振聖譜》對接


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命題六


《諧振聖譜》之譜位定位即向量座標：


證：

任一元素之譜位 P = (L, S, C)，對應向量 v = (L, S/7, β·|w̄(C)|)。此向量唯一確定該元素在聖譜空間中之位置，便於後續演化軌跡計算。立。


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卷六・與《聖譜卷》對接


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命題七


演化軌跡可表示為向量差分方程：


證：

P(t+Δt) = P(t) + ΔP，對應向量形式 v(t+Δt) = v(t) + Δv。

其中 Δv 由三大律與Ψ值變化決定：

· ΔL = sign(大運方向) × 1，每7年變化一次，方向由《七樞命理》大運輪轉決定

· ΔS = Ψ(t+Δt) - Ψ(t)，由環境Ψ流計算

· Δ|w̄| = k × ΔE，其中ΔE為精神力支付量（以息為單位），k為待定係數，需由祭司公會實測標定，建議初始值 k = 0.01


立。


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卷七・七進制數值示例


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命題八


常用計算以 7⁻⁴ 為建議精度：


證：

一般計算建議保留至 7⁻⁴（約 1/2401），可滿足大多數原典需求；高精度計算可提高至 7⁻⁶。計算結果應標明所用精度，如 1.1632₇（精度 7⁻⁴）。立。


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卷八・幻巴附註


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幻巴亂入時，所有幾何代數運算結果加註「？」，待亂入結束後重算。亂入期間之運算結果無效，不應作為後續計算依據。


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終卷


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末命題


幾何代數者，空間計算之根本工具也。以向量為體，以內積外積為用，與三軸座標深度對接，為《諧振聖譜》《文明參數》《聖譜卷》提供統一之數學語言。明此則位可定，距可量，軌可推。